已知函数f（x）=e x -ex

（Ⅰ）由f′（x）=e ^x -e=0，∴x=1．∴f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴f（x）的最小值为0

（Ⅱ）设 F(x)=h(x)-g(x)=
1
2 x 2 -elnx(x＞0) ，∴ F ′ (x)=x-
e
x =
x 2 -e
x =
(x+
e )(x-
e )
x
∴当 0＜x＜
e 时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当 x＞
e 时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴ x=
e 是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，∴ F (x) min =F(
e )=
1
2 e ，∴函数f（x）与h（x）的图象在 x=
e 处有公共点 (
e ，
1
2 e) （9分）
设f（x）与h（x）存在公共切线且方程为： y-
1
2 e=k(x-
e ) ，令函数 u(x)=kx+
1
2 e-k
e ，
ⅰ）由 h(x)≥u(x)⇒
1
2 x 2 ≥kx+
1
2 e-k
e 在x∈R恒成立，即 x 2 -2kx-e+2k
e ≥0 在R上恒成立，
∴ △=4 k 2 +4e-8k
e =4 (k-
e ) 2 ≤0 成立，
∴ k=
e ，故 u(x)=
e x-
1
2 e ．（11分）
ⅱ）下面再证明： f(x)≤u(x)⇒elnx≤
e x-
1
2 e(x＞0) 恒成立
设 φ(x)=elnx-
e x+
1
2 e ，则 φ ′ (x)=
e
x -
e =
e-
e x
x ．
∴当 0＜x＜
e 时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；当 x＞
e 时，φ′（x）＜0．函数φ（x）单调递减．∴ x=
e 时φ（x）取得最大值0，则 φ(x)≤
e x-
1
2 e （x＞0）成立．（13分）
综上ⅰ）和ⅱ）知： f(x)≤
e x-
1
2 e 且 h(x)≥
e x-
1
2 e ，
故函数f（x）与h（x）存在公共切线为 y=
e x-
1
2 e ，此时 k=
e ，b=-
1
2 e ．（14分）