如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为8的正三角形,SA=SC=27,二面角S-AC-B的大小为60°.

如图,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为8的正三角形,SA=SC=2
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,二面角S-AC-B的大小为60°.
(1)求证:AC⊥SB;
(2)求二面角S-BC-A的正切值.
daliang_1116 1年前 已收到1个回答 举报

浪漫与我无缘 幼苗

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解题思路:(1)要证AC⊥SB,只需证AC⊥面SBD,取AC的中点D,连接SD,BD,易证SD⊥AC,BD⊥AC,故问题得证;
(2)过O作OH⊥BC于H,连SH,则SH⊥BC,所以∠SHO为二面角S-BC-A的平面角,分别在三角形中求相应线段的长,从而可解

解(1)取AC的中点D,连接SD,BD,∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC
∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,又SD∩BD=D∴AC⊥面SBD,又SB⊂面SBD,∴AC⊥SB…(6分)
(2)过O作OH⊥BC于H,连SH,则SH⊥BC∴∠SHO为二面角S-BC-A的平面角…(8分)
∵正△ABC是边长为8,∴BD=4
3,∵OD=
SD2−SO2=
3∴OB=3
3,
在Rt△OHB中,OH=OB•sin300=
1
2OB=
3
3
2
在Rt△SOH中,tan∠SHO=
SO
OH=
3

3
3
2=
2
3
3
即二面角S-BC-A的正切值为
2
3
3…(12分)

点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.

考点点评: 本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题,主要考查线线垂直,考查求解二面角的平面角,关键是线线、线面垂直之间的转化,二面角平面角的作与证.

1年前

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