求正交变换X=Py,将下列二次型转化为标准形 f=2x(1)^2+x(2)^2-4x(1)x(2)-4x(2)x(3)

二次型的矩阵 A =
2 -2 0
-2 1 -2
0 -2 0
|A-xE| =
r1+(1/2)(2-x)r2 - r3
0 (1-x)(2-x)/2 2(1-x)
-2 1-x -2
0 -2 -x
第1行提出 (1-x),再按第1列展开 = 2 乘
(2-x)/2 2
-2 -x
2乘到第1行上
2-x 4
-2 -x
= x^2 -2x +8 = (x-4)(x+2)
所以 |A-xE| =(1-x)(x-4)(x+2)
特征值为 1,4,-2
A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为:(2,1,-2),单位化得 a1 = (2/3,1/3,-2/3)'
A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为:(2,-2,1),单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'
A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为:(1,2,2),单位化得 a3 = (1/3,2/3,2/3)'
则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵
作正交线性变换 X = PY
则二次型 f = y1^2 + 4Y2^2 -2y3^2

f = y1^2 + 4Y2^2 -2y3^2