小红家、小明家和学校在同一条路上，小红家离学校312米，小明家离学校150米，求小红家到小明家有多远？（请写出算式，写2

（1）证明：∵3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，∴3ts_n+1-（2t+3）S_n =3t （n≥2），两式相减得3ta_n+1-（2t+3）a_n =0．
又t＞0，∴
an+1
an=
2t+3
3t （n≥2），又当n=2时，3ts₂-（2t+3）s₁=3t，
即3t （a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t，得 a₂=
2t+3
3t，即
a2
a1=
2t+3
3t，∴
an+1
an=
2t+3
3t （n≥1），∴数列{a_n}为等比数列．
由已知得f（n）=
2t+3
3t，∴bn＝f(
1
bn−1)=

2
bn−1+3

3
bn−1=b_n-1+
2
3 （n≥2）．
∴数列{b_n}是以 b₁=1为首项，以d=
2
3为公差的等差数列，故 b_n=
2
3n+
1
3．
（2）T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=2d （b₂+b₄+…+b_2n）=2×
2
3[n•
5
3+
n(n−1)
2•
4
3]=-
8
9n2-
4n
3．