由曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈（0，1）所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（　　）

根据题意，可得
S=
∫t0(t2−x2)
dx+∫1t(x2−t2)dx
=（t²x-[1/3]x³）
|t0+（[1/3]x³-t²x）
|1t
=[2/3t3+（
1
3]-t²）-（[1/3t3-t³）=
4
3t3−t2+
1
3]
记F（t）=[4/3t3−t2+
1
3]，可得F'（t）=4t²-2t=2t（2t-1）
∵当x∈（0，[1/2]）时，F'（t）＜0，当x∈（[1/2]，1）时，F'（t）＞0
∴F（t）在（0，[1/2]）上为减函数；在（[1/2]，1）上为增函数
因此，F（t）的最小值为F（[1/2]）=[4/3•
1
8−
1
4+
1
3]=[1/4]，即围成的图形面积的最小值为[1/4]
故选：A

点评：
本题考点： 定积分．

考点点评： 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，求面积的最小值．着重考查了定积分的几何意义、积分计算公式和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．

1年前

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