证明：不等式0＜[x/2Inx+1x−1−1＜13(x2−1)]在x＞1时成立．

令f（x）=[x/2ln
x+1
x−1]-1，g（x）=[1
3(x2−1)-
x/2ln
x+1
x−1]+1，x＞1．
（1）因为
f′（x）=[1/2ln
x+1
x−1]+[x/2•(−
2
x2−1)=
1
2ln
x+1
x−1]-[x
x2−1，
f″（x）=-
1
x2−1-(
1
x2−1−
2x2
(x2−1)2)=
2
(x2−1)2＞0，
所以f′（x）为单调递增函数．
又因为

lim
x→+∞f′(x)=
lim
x→+∞(
1/2ln
x+1
x−1−
x
x2−1)=
1
2ln1+0=0，
所以，当x＞1时，f′（x）＜0，
从而，f（x）在（1，+∞）上严格单调递减．
又因为

lim
x→+∞][x/2ln
x+1
x−1]=
lim
x→+∞[x/2•
2
x−1•
ln(1+

点评：
本题考点： 利用单调性证明函数不等式．

考点点评： 本题考查了利用函数的单调性证明不等式的方法以及利用导数的符号判断函数单调性的方法，关键是正确求解函数的导数，题目难度适中．

1年前

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