(2010•朝阳区二模)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点

(2010•朝阳区二模)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点为O.
(Ⅰ)求证:SO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)已知E为侧棱SC上一个动点.试问对于SC上任意一点E,平面BDE与平面SAC是否垂直?若垂直,请加以证明;若不垂直,请说明理由.
joepuff 1年前 已收到1个回答 举报

lmm88130558 幼苗

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解题思路:(Ⅰ)通过证明SO⊥AC,SO⊥BD,AC∩BD=O,即可证明SO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知SO⊥面ABCD,说明SO⊥BD.然后证明AC⊥BD.利用AC∩SO=O,推出BD⊥面SAC.再证明平面BDE⊥平面SAC

证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是正方形,AC∩BD=O,
所以O是AC,BD中点.
由已知,SA=SC,SB=SD,
所以SO⊥AC,SO⊥BD,
又AC∩BD=O,
所以SO⊥平面ABCD.…(6分)
(Ⅱ)对于SC上任意一点E,平面BDE⊥平面SAC.
证明如下:由(Ⅰ)知SO⊥面ABCD,
而BD⊂面ABCD,所以SO⊥BD.
又因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
因为AC∩SO=O,所以BD⊥面SAC.
又因为BD⊂面BDE,所以平面BDE⊥平面SAC.…(13分)

点评:
本题考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定.

考点点评: 考查重点考查直线与平面垂直的判定定理的应用,平面与平面垂直的判断,考查空间想象能力,推理论证能力.

1年前

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