求出不定方程x^2+2y^2=z^2的全部整数解.

设x，y，z互质的正整数。将原式变换为2y²=(z-x)(z+x) 则(z-x)(z+x)必同为偶数，因此2y²有因数4，即y²是偶数，故y为偶数。 此外(z-x)(z+x)没有大于2的公因数，否则，若有除2以外大于1的公因数k，设z-x=2ak，z+x=2bk(a，b，k都是正整数)，则z=k(a+b)，x=(k(b-a)。显然与x，y，z互质相矛盾。 所以(z-x)与(z+x)的最大公因数是2。也就是说在(z-x)与(z+x)中必有一个其因数中只有一个2。 设(z-x)的因数中只有一个2，则(z-x)/2与(z+x)互质。 因y²=(z-x)/2·(z+x)，所以(z-x)/2与(z+x)分别是两个完全平方数。 设(z-x)/2=n²，z+x=(2m)²(m，n是正整数)。 于是得到，y=2mn，z=2m²+n²。 同理，若(z+x)的因数中只有一个2，则可类似得到x=n²-2m²。 于是x，y，z不限制互质和正负时将上面的结果加上倍数和正负号即可。