已知等差数列{an}中,a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.

已知等差数列{an}中,a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足对任意的n∈N*均有an+1=b1c1+b2c2+…+bncn成立,求证:c1+c2+…+cn<4.
lufy123 1年前 已收到1个回答 举报

12孜 幼苗

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解题思路:(1)根据等差数列性质,即可求数列的通项公式;
(2)求出cn的通项公式,利用作差法即可求数列{cn}的前n项和,即可证明不等式.

(1)∵a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
∴d=2或d=0(舍去),
则an=2n-1.
又b2=a2=3,b3=a5=9,
则公比q=3,即bn=3n-1
(2)证明:当n=1时,a2=b1c1
∴c1=3<4,
当n≥2,an+1=b1c1+b2c2+…+bncn
an=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1
两式相减得an+1-an=bncn
即cn=
an+1−an
bn=
2
3n−1,
∴c1+c2+…+cn=3+

2
3(1−
1
3n−1)
1−
1
3=4−
1
3n−1<4成立,
所以,对于任意的c1+c2+…+cn<4.

点评:
本题考点: 数列的求和.

考点点评: 本题主要考查递推数列的应用,以及数列求和,综合性较强,运算量较大.

1年前

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