All agreed to his suggestion ------a bridge across the river

All agreed to his suggestion 【that】 a bridge 【be built】 across the river.是正确的.
知识点延伸：（1）agree to suggetion / plan / proposal同意建议/计划/意见；
（2）suggestion that 后面是一个同位语从句,补充说明suggestion的具体内容.suggestion做“建议”一义时,后面的同位语从句要用虚拟语气,谓语动词用should+动词原形,should可以省略.这里正是省略了should.
谨祝---------
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第一个因为是定语从句，第二个因为前面是suggestion，必须用虚拟should be，而should可以省略

that是作为引导词引导定语从句修饰suggestion因该理解起来没问题，后面用be built是should be built这个虚拟结构的省略）虚拟中的should通常都可以省略），这种用法是受到suggestion这个词的用法的限定。suggest（或其名词suggestion）作为”建议“的意思使用时，其后面的从句必须使用（可以省掉should的）虚拟语气。...