已知函数f(x)=2sin2(x-[π/4])+3cos2x-3,x∈[[π/4],[π/2]]

已知函数f(x)=2sin2(x-[π/4])+
3
cos2x-3,x∈[[π/4],[π/2]]
(1)求f(x)的最大值和最小值;
(2)若方程f(x)=m仅有一解,求实数m的取值范围.
朝朝闻道 1年前 已收到1个回答 举报

Tjony瀑布 幼苗

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解题思路:第(1)问,首先要把函数化成标准形式,然后根据x的取值范围求函数的最大值与最小值;第(2)问要把方程解的个数问题转化成两个图象的公共点个数,利用数形结合求解.

(1)f(x)=2sin2(x-[π/4])+
3cos2x-3
=-cos(2x-[π/2])+
3cos2x-2
=
3cos2x-sin2x-2
=2cos(2x+[π/6])-2
∵x∈[[π/4],[π/2]],∴2x+[π/6]∈[[2π/3,

6]]
∴当2x+[π/6]=[2π/3]时,函数f(x)取最大值-1,
当2x+[π/6]=π时,函数 f(x)取最小值-4.
(2)方程f(x)=m仅有一解,则函数y=f(x)的图象与函数y=m的图象仅有一个公共点,
画出图象如图所示,由图象可知,当−
3−2<m≤−3或m=-4两个图象有且仅有一个公共点.
所以m的取值范围为−
3−2<m≤−3或m=-4.

点评:
本题考点: 三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用.

考点点评: 本题考查了三解函数的最值求法,关键是化成标准形式;研究方程解的个数,关键是转化成图象的交点个数问题解决,考查了数形结合与转化的思想.

1年前

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