已知:如图,平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是A(1,4);B(3,0),以AB为直径的圆M与y轴相交于点C、D(点

已知:如图,平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是A(1,4);B(3,0),以AB为直径的圆M与y轴相交于点C、D(点C在D的下方).
(1)求直线AB的函数解析式和线段AB的长;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点P在以AB为直径的圆M上,且∠BAP=∠OBC,设直线AP与x轴的交点为Q,求点Q的坐标.
sunsunbbcc 1年前 已收到1个回答 举报

Huner_x 幼苗

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解题思路:(1)利用待定系数法确定直线AB的解析式;运用两点的距离公式可计算得到AB=2
5

(2)由于AB为⊙M的直径,根据圆周角定理得∠ACB=90°,设C点坐标为(0,t),根据两点的距离公式得到BC2=(3-0)2+(0-t)2,AC2=1+(4-t)2

然后利用勾股定理得9+t2+1+(4-t)2=20,解得t1=1,t2=3,则C点坐标为(0,1),所以BC2=9+t2=10,AC2=1+(4-t)2=10,即AC=BC,于是可判断△ABC为等腰直角三角形;

(3)设P点坐标为(a,b),先证明Rt△APB∽Rt△BOC,利用[PA/OB]=[BP/OC]=[AB/BC]可计算出PA=3
2
,PB=
2
,再根据两点的距离公式得到(a-1)2+(b-4)2=(3
2
2,(a-3)2+(b-0)2=(
2
2,可解得a=[7/5],b=-[1/5];a=4,b=1;然后利用待定系数法确定直线AP的解析式,最后确定Q点坐标.

(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
把A(1,4);B(3,0)代入得

k+b=4
3k+b=0,
解得

k=−2
b=6,
所以直线AB的解析式为y=-2x+6;
线段AB的长=
(1−3)2+(4−0)2=2
5;


(2)△ABC为等腰直角三角形.理由如下:
∵AB为⊙M的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2
设C点坐标为(0,t),
∴BC2=(3-0)2+(0-t)2=9+t2,AC2=(1-0)2+(4-t)2=1+(4-t)2
而AB=2
5,
∴9+t2+1+(4-t)2=20,
解得t1=1,t2=3,
∴C点坐标为(0,1),
∴BC2=9+t2=10,AC2=1+(4-t)2=10,即AC=BC,
∴△ABC为等腰直角三角形;


(3)如图,∵AB为⊙M的直径,
∴∠APB=90°,
∵∠BAP=∠OBC,
∴Rt△APB∽Rt△BOC,
∴[PA/OB]=

点评:
本题考点: 圆的综合题.

考点点评: 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理和待定系数法求函数的解析式;记住两点的距离公式;会运用勾股定理和三角形相似比进行几何计算.

1年前

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