（2010•卢湾区二模）从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．设

（1）由题设，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，
于是d=2a₁，故其公比q＝
a2
a1＝3．
（2）设等比数列为{b_m}，其公比q＝
a6
a2＝
3
2，bm＝a2qm−1＝8d•(
3
2)m−1，
由题设a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．
假设数列{b_m}为{a_n}的无穷等比子数列，
则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，
即(n+6)d＝8d•(
3
2)m−1，
得n＝8(
3
2)m−1−6，
当m=5时，n＝8(
3
2)5−1−6＝
69
2∉N*，与假设矛盾，
故该数列不为{a_n}的无穷等比子数列．
（3）①设{a_n}的无穷等比子数列为{b_r}，其公比
am
a1＝
b2
b1＝t（t≠1），得b_r=t^r-1，
由题设，在等差数列{a_n}中，d＝
am−a1
m−1＝
t−1
m−1，an＝1+(n−1)
t−1
m−1，
因为数列{b_r}为{a_n}的无穷等比子数列，
所以对任意自然数r（r≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_r，
即1+(n−1)
t−1
m−1＝tr−1，
得n＝
tr−1−1
t−1(m−1)+1＝(tr−2+tr−3+t+1)(m−1)+1，
由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m-1均为正整数，
可知t^r-2+t^r-3+t+1必为正整数，
又d≠0，
故t是大于1的正整数．
②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{a_n}存在无穷等比子数列．
即证明无穷等比数列{b_r}中的每一项均为数列{a_n}中的项．
在等比数列{b_r}中，b_r=t^r-1，
在等差数列{a_n}中，d＝
am−a1
m−1＝

点评：
本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．