f（x）=[a/x]+x+（a-1）lnx+15a，F（x）=2x3-3（2a+3）x2+12（a+1）x+12a+2．

（Ⅰ） 当a=-2，f（x）=-[2/x]+x-3lnx-30（x＞0），
∴f′（x）=[2
x2+1-
3/x]=
x2−3x+2
x2，
设f'（x）＞0，
即x²-3x+2＞0，
∴x＜1，或x＞2，
∴f（x）单调增区间是（0，1），（2，+∞）；
（2）假设存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，F'（x）=6x²-6（2a+3）x+12（a+1）=6（x-1）（x-2a-2），
当g（x）在[a，-a]上为减函数，则F（x）在[a，1]上为减函数，f（x）在[1，-a]上为减函数，且F（1）≥f（1），则a≥-3．
由（Ⅰ）知当a＜-1时，f（x）的单调减区间是（1，-a），
（1）当时，F'（x）=6（x-1）²≥0，F（x）在定义域上为增函数，不合题意；
（2）当时，由F'（x）＜0得：1＜x＜2a+2，F（x）在（-∞，1]上为增函数，则在[a，1]上也为增函数，也不合题意；
（3）当时，由F'（x）＜0得：2a+2＜x＜1，F（x）在[2a+2，1]上为减函数，如果g（x）在[a，-a]上为减函数，
则F（x）在[a，1]上为减函数，
则：2a+2≤a，∴a≤-2．
综上所述，符合条件的a满足[-3，-2]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的单调性研究函数的极值与对称问题，是易错题．