已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=e-x(x-1)给出以下命题:

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=e-x(x-1)给出以下命题:
①当x<0时,f(x)=e-x(x+1);
②函数f(x)有五个零点;
③若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是f(-2)≤x≤f(2);
④∀x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立.
其中,正确命题的序号是______.
男子汉123 1年前 已收到1个回答 举报

成都人yangyong 幼苗

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解题思路:应用奇函数的定义和性质,结合函数的图象和性质判断求解.

令x<0,所以-x>0,所以f(-x)=ex(-x-1)=-f(x),所以f(x)=ex(x+1)
故①正确;观察f(x)在x<0时的图象,令f′(x)=ex(x+1)+ex=0,所以x=-2
可知f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,0)上递增,而在(-∞,-1)上,f(x)<0,在(-1,0)上f(x)>0
由此可判断在(-∞,0)仅有一个零点,有对称性可知f(x)在(0,∞)上也有一个零点,又因为f(0)=0,故该函数有三个零点.
由图可知,若关于x的方程f(x)=m有解,则-1<m<1,且∀x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)<2|恒成立.

故答案为:①④

点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质.

考点点评: 本题考查了函数的概念和性质,综合函数图象性质,求解综合性较大,运用的知识点比较多,做题要仔细认真.

1年前

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