(2008•成都三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4an-2Sn=1,数列{bn}满足bn=2log12an

(2008•成都三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4an-2Sn=1,数列{bn}满足bn=2log
1
2
an
,n∈N*
(1)求数列{an}的通项an与{bn}的前n项和Tn
(2)设数列{
bn
an
}的前n项和为Un,求证:0<Un≤4.
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athene 幼苗

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解题思路:(1)取n=1解出数列{an}的首项a1=
1/2],然后用n-1代替n,将得到的式子与原式作差,可得关于anan-1的关系式,从而得出数列{an}的是一个等比数列,最后可得数列{an}的通项an,再将这个通项代入到bn=2log
1
2
an
,n∈N*,从而得出bn=4-2n,为等差数列,用公式可得其{bn}的前n项和Tn=-n2+3n;
(2)数列{
bn
an
}的通项是等差与等比对应项的积,因此可以用错位相减法求出它的前n项和为Un,最后根据数列Un的单调性结合不等式的性质,可以证明不等式0<Un≤4成立.

(1)易得a1=[1/2].…(1分)
当n≥2时,4an-2Sn=1,…①
4an-1-2Sn-1=1…②
①-②,得4an-4an-1-2an=0⇒an=2an-1

an
an−1=2(n≥2).
∴数列{an}是以a1=[1/2]为首项,2为公比的等比数列.
∴an=2n-2.…(4分)
从而bn=4-2n,其前n项和Tn=-n2+3n…(6分)
(2)∵{an}为等比数列、{bn}为等差数列,
bn
an=[4−2n
2n−2,
∴Un=
2

1/2]+[0/1]+[−2/2]+…+[6−2n
2n−3+
4−2n
2n−2…③

1/2]Un=[2/1]+[0/2]+[−2
22+…+
6−2n
2n−1+
4−2n
2n−1…④
③-④,得
1/2]Un=4-[2/1]-[2/2]-[2
22-…-
2
2n−2-
4−2n

点评:
本题考点: 数列的求和;等比数列的通项公式;等比数列的前n项和.

考点点评: 本题考查了数列的通项与求和,属于中档题.解题时一方面要注意证明一个数列成等比(差)数列,要交代它的首项和公比(差),另一方面要注意利用错位相减法求数列的前n项和的技巧性,此题对运算能力的要求较高.

1年前

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