一直线过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．
| 一直线过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点． （1）求证：∠ACB不可能是钝角； （2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． |
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设
，
直线AB方程为
由
，得：y 2 ﹣2pty﹣p 2 =0，
则
∴
．
，
∴
∴
不可能为钝角，
故∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形
由（1）得：线段AB的中点为
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，
，
点C的坐标只可能是
，
由
，得：
，矛盾，
于是直线AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k CM k AB =﹣1，
即
，
∴m=pt 3 +2pt，
∴
，|AB|=2p（t 2 +1），
由
，得：
，
∴
故存在点
，使得△ABC为正三角形．
，直线AB方程为
由
，得：y 2 ﹣2pty﹣p 2 =0，则
∴
．
，
∴
∴
不可能为钝角，故∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形
由（1）得：线段AB的中点为
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，
，点C的坐标只可能是
，由
，得：
，矛盾，于是直线AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k CM k AB =﹣1，
即
，∴m=pt 3 +2pt，
∴
，|AB|=2p（t 2 +1），由
，得：
，∴
故存在点
，使得△ABC为正三角形．
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你能帮帮他们吗
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