（1）阅读证明①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此

（1）如图2，延长BP至E，使PE=PC．
∵在等边△ABC中，
∴∠EPC=∠BAC=60°，
∵PC=PE，
∴△PCE为等边三角形，
∴PC=PE，∠PCE=60°，
∴∠BCP+∠PCE=∠ACB+∠BCP，
∴∠ACP=∠BCE，
∵在△ACP和△BCE中，


BC＝AC
∠BCE＝∠ACP
CE＝PC，
∴△ACP≌△BCE（SAS）．
∴AP=BE=BP+PE=BP+PC；



（2）由（1）得出：第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在



BC上取一点P₀，连接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+P₀D；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段AD的长度即为△ABC的费马距离．

（3）如图4，以BC为边在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD．
∴AD的长就是△ABC的费马距离．
可得∠ABD=90°
∴AD=
AB2+BD2=5（km）．
∴输水管总长度的最小值为5千米．
故答案为：P₀D；AD．

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 此题主要考查了等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．