函数f(x)＝Asin(ωx+φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)部分图象如图所示．

解题思路：（Ⅰ）通过函数的图象求出A，T，然后推出ω，利用x＝

π

6

时，f（x）=2，求出φ，即可求函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调增区间写出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）通过两角和的正弦函数化简函数g（x）=f（x）+2cos2x为一个三角函数的形式，利用[−

π

6

，

π

4

]，求出相位的范围，通过三角函数求解函数的最大值和最小值．

（本小题满分13分）
（Ⅰ）由图可得A=2，[T/2＝
2π
3−
π
6＝
π
2]，
所以T=π，所以ω=2． …（2分）
当x＝
π
6时，f（x）=2，可得 2sin(2•
π
6+φ)＝2，
因为|φ|＜
π
2，所以φ＝
π
6．…（4分）
所以函数f（x）的解析式为f(x)＝2sin(2x+
π
6)．…（5分）
函数f（x）的单调递增区间为[kπ−
π
3，kπ+
π
6](k∈Z)．…（7分）
（Ⅱ）因为g(x)＝f(x)+2cos2x＝2sin(2x+
π
6)+2cos2x=2sin2xcos
π
6+2cos2xsin
π
6+2cos2x…（8分）
=
3sin2x+3cos2x=2
3sin(2x+
π
3)．…（10分）
因为x∈[−
π
6，
π
4]，所以0≤2x+
π
3≤
5π
6．
当2x+
π
3＝
π
2，即x＝
π
12时，函数g（x）有最大值为2

点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题考查两角和与差的三角函数的应用，三角函数的单调性的求法，考查计算能力．