请教一道概率证明题设随机变量X的密度函数关于x=μ 对称,证明其分布函数满足以下性质：F（μ+x)+F(μ-x)=1 ,
请教一道概率证明题
设随机变量X的密度函数关于x=μ 对称,证明其分布函数满足以下性质：
F（μ+x)+F(μ-x)=1 ,－∞＜x＜＋∞
这是高等教育出版社出版的《概率论与数理统计》里面的一道习题。是第二版的
设随机变量X的密度函数关于x=μ 对称,证明其分布函数满足以下性质：
F（μ+x)+F(μ-x)=1 ,－∞＜x＜＋∞
这是高等教育出版社出版的《概率论与数理统计》里面的一道习题。是第二版的
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证明：设密度函数为p(x),则有S(－∞,+∞)p(x)dx=1,且根据密度函数关于x=μ 对称知道S(－∞,μ)p(x)dx=S(μ,+∞)p(x)dx
F（μ+x)=S(-∞,μ+x)p(x)dx=S(－∞,μ)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=S(μ,+∞)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=1-S(-∞,μ)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=1-[S(-∞,μ)p(x)dx-S(μ,μ+x)p(x)dx]=1-[S(-∞,μ)p(x)dx-S(μ-x,μ)p(x)dx]=1-F(μ-x)
命题得证.(注：最后一步代换S(μ,μ+x)p(x)dx=S(μ-x,μ)p(x)dx也是根据密度函数关于x=μ 对称得到的.)
F（μ+x)=S(-∞,μ+x)p(x)dx=S(－∞,μ)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=S(μ,+∞)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=1-S(-∞,μ)p(x)dx+S(μ,μ+x)p(x)dx=1-[S(-∞,μ)p(x)dx-S(μ,μ+x)p(x)dx]=1-[S(-∞,μ)p(x)dx-S(μ-x,μ)p(x)dx]=1-F(μ-x)
命题得证.(注：最后一步代换S(μ,μ+x)p(x)dx=S(μ-x,μ)p(x)dx也是根据密度函数关于x=μ 对称得到的.)
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