1、是否存在自然数N,使得N的平方的个位数之和等于1983

解1、一个数用9除的余数等于它的各位数之和用9除的余数,表示为
n^2≡n^2的各位数之和(mod9)
即n^2≡1983≡3(mod9)
x是整数,x的平方用9除的余数,称为9的平方剩余,不难看出9的平方剩余仅有0,1,4,7这4个数,3不是9的平方剩余,故满足条件的自然数n不存在.
2、n=1时,1+3=4=2^2
n=3时,1*2*3+3=9=3^2
当n≥4时,1×2×3…×n+3是奇数且
1×2×3…×n+3≡3(mod4)
一个偶数的平方用4除的余数为0,一个奇数的平方用4除的余数为1,即4的平方剩余仅有0,1这2个数,3不是平方剩余,故n≥4时,1×2×3…×n+3不是平方数,1×2×3…×n+3是一个整数的平方时仅有n=1,3.