怎样性质的二元函数是可偏导而不可微的?

怎样性质的二元函数是可偏导而不可微的?
虽然存在这样的函数,但是是由于怎样的原因,导致其可导但不可微
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柳叶儿001 幼苗

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偏导数存在是可微分的必要不充分条件,
偏导数连续是可微分的充分不必要条件,
可偏导而不可微的函数大抵是邻域内偏导数存在但在讨论点处偏导数不连续这样的情形.
【上面说法不可一概视之,因为有可能可微分,但偏导数不连续】
要说到判断偏导数存在是否可微分,那得紧抓可微的定义：
△z-dz=o（ρ）

1年前 追问

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我是13的被子 举报

这个我知道，我问的是，可偏导不可微的函数，具有何种结构

举报 柳叶儿001

这种无法一概而论，大抵比如有根号、sin∞、等等

我是13的被子 举报

如果从函数图像的切面的转动来看呢，不可微的一元函数的切线斜率会突变，不可微的二元函数的切面会不会有跳跃性运动

举报 柳叶儿001

跳跃或者震荡都有可能

我是13的被子 举报

比如xy/（x^2+y^2），它在原点不可微但是可偏导，如何具体从它在原点附近的行为来理解它这一性质，我感觉它既不跳跃也不震荡啊

举报 柳叶儿001

我是13的被子 举报

是，但是这只分析了函数值的极限，没有分析其切面的变化

举报 柳叶儿001

极限不存在，就不可微了，不要纠结于几何意义！

我是13的被子 举报

你说的极限不存在是函数本身，我考虑的是其不可微的具体原因，以及不可微点附近具有怎样的几何意义，说实话，很多国人缺少这样寻根究底的精神

举报 柳叶儿001

我一开始似乎已经说过，大抵有下面的情形：

（1）不连续，就如你问我的例子；

（2）偏导数不存在（没有切平面）；

（3）偏导数存在，但不连续（只能是一部分函数不可微）

类似于这样的充分、必要条件类的问题，

单纯从几何意义上探究，有时会陷入思维局限，

建议不要往这方面讨论。

我也不想再就不可微的几何意义多加探讨，敬请理解！

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