（2004•上海）设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，
（2004•上海）设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
+
=1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为
+
＝1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．
（1）若C的方程为
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 25 |
（2）若C的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．
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解题思路：（1）依题意可分别求得a1和a3，进而把椭圆方程和圆的方程联立求得交点即P3的坐标．
（2）根据原点O到二次曲线C：
+
＝1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．根据a1=a2，判断d＜0，进而根据an≥b2，求得
≤d，进而判断Sn在[
，0）上递增，进而求得Sn的最小值．
（3）点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围，进而根据|OP1|=a2推断点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2符合．
（2）根据原点O到二次曲线C：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2−a2 |
| n−1 |
| b2−a2 |
| n−1 |
（3）点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围，进而根据|OP1|=a2推断点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2符合．
（1）a1=|OP1|2=100，由S3=[3/2]（a1+a3）=255，得a3=|OP3|3=70．
由
x2
100+
y2
25＝1
x2+y2＝70，得
x2＝60
y2＝10，
∴点P3的坐标可以为（2
15，
10）．
（2）原点O到二次曲线C：
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a1=|OP1|2=a2，
∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+（n-1）d≥b2，
∴
点评：
本题考点： 等差数列的性质；数列的求和；椭圆的应用．
考点点评： 本题主要考查了等差数列的性质．涉及了圆锥曲线和函数的知识，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
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