矩阵为幂等矩阵的充要条件已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n,其中E为n阶单位矩阵,怎么证明A是

此题甚易
首先,设A可逆,则rank(E-A)=0,A=E,命题成立
设E-A可逆,则rank A=0,A=0,命题成立
现设A不可逆,E-A不可逆.设映射α：X→AX,β：X→(E-A)X
由rank(A)+rank(E-A)=n知dim ker α+dim ker β=n.而ker α是AX=0的解空间,ker β是(E-A)X
=0的解空间,由此知A可对角化为diag(O,E),即存在可逆矩阵P,使得PAP－¹=diag(O,E)=C,
而C²=C,两边同时左乘P－¹右乘P可得A^2=A