（2010•沈阳三模）已知P是圆x2+y2=9，上任意一点，由P点向x轴做垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且PM＝2

解题思路：（Ⅰ）设M（x，y），则可设P（x，y₀），Q（x，0），根据又

PM

＝2

MQ

，可确定y₀=3y，进而可知点P的坐标代入圆的方程，求得曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线与椭圆方程联立消y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理分别求得x₁+x₂，x₁x₂和y₁y₂，根据

OA

⊥

OB

，判断出x₁x₂+y₁y₂=0，求得k，再由矩形对角线互相平分求得y_N和x_N，进而判断所以存在这样的点使得四边形OANB为矩形．

（Ⅰ）设M（x，y），则可设P（x，y₀），Q（x，0），又

PM＝2

MQ，
∴y₀=3y，
∴P（x，3y）代入圆方程x²+y²=9，得曲线C的方程为
x2
9+y2＝1．
（Ⅱ）由已知知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线与椭圆方程联立消y，
得（1+9k²）x²-36kx+27=0，
△=（36k）²-4×27（9k²+1）＞0，k2＞
1
3，
x1+x2＝
36k
1+9k2，x1x2＝
27
1+9k2，
y1y2＝k2x1x2−2k(x1+x2)+4＝
4−9k2
1+9k2，
若四边形OANB为矩形，则

OA⊥

OB，
所以x1x2+y1y2＝
27
1+9k2+
4−9k2
1+9k2，＝0，k2＝

点评：
本题考点： 椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的应用，对于平面几何、韦达定理等知识都有涉及，综合性很强．