(2014•南京模拟)为了迎接青奥会,南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯,该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的直角坐

(2014•南京模拟)为了迎接青奥会,南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯,该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的直角坐标系中,支架ACB是抛物线y2=2x的一部分,灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直,其中C在抛物线上,B为抛物线的顶点,DH表示道路路面,BF∥DH,A为锥形灯罩的顶,灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直.安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米,灯罩的轴线正好通过道路路面的中线.
(1)求灯罩轴线所在的直线方程;
(2)若路宽为10米,求灯柱的高.
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xjumahp3 幼苗

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解题思路:(1)求出A的坐标,设点A处的切线方程,代入抛物线方程,求出斜率,即可得出灯罩轴线所在的直线方程;
(2)求出FD,利用CF,可求灯柱的高.

(1)由题意知,BF=[1/2],则xA=1.5+[1/2]=2,
代入y2=2x得yA=2,故A(2,2).
设点A处的切线方程为y-2=k(x-2),
代入抛物线方程y2=2x消去x,得ky2-2y+4-4k=0.
则△=4-4k(4-4k)=0,解得k=[1/2].
故灯罩轴线的斜率为-2,其方程为y-2=-2(x-2),即y=-2x+6.
(2)由于路宽为10,则当x=[11/2]时,y=-5,从而FD=5.
又CF=1,则CD=6.
答:灯柱的高为6米.

点评:
本题考点: 基本不等式在最值问题中的应用.

考点点评: 本题考查考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

1年前

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