已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,其前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,且b1=a2,b2=a5,b3

已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,其前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,且b1=a2,b2=a5,b3=a14
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=Sn(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn
网网拾荒 1年前 已收到1个回答 举报

爱已变味 幼苗

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解题思路:(1)由等比数列的性质结合b1=a2,b2=a5,b3=a14列式求得等差数列的公差,然后求出等比数列的公比,分别代入等差数列和等比数列的通项公式得答案;
(2)由
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=Sn得到cn=an•bn.代入等差数列和等比数列的通项公式后利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn

(1)由{bn}是等比数列,得b22=b1•b3,
即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),整理得:2a1d=d2.
∵a1=1,公差d>0,
∴d=2.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
b1=a2=3,b2=a5=9,
∴等比数列{bn}的公比q=3.
∴bn=3n;
(2)由
c1
b1+
c2
b2+…+
cn
bn=Sn,得

c1
b1+
c2
b2+…+
cn−1
bn−1=Sn−1 (n≥2).
两式作差得:
cn
bn=an(n≥2).
∴cn=an•bn(n≥2).

c1
b1=a1,
∴c1=a1•b1
∴cn=an•bn
∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)•3n
3Tn=1×32+3×33+…+(2n−1)•3n+1.
两式作差得:−2Tn=3+2(32+33+…+3n)−(2n−1)•3n+1
=3+2×
9(1−3n−1)
1−3−(2n−1)•3n+1.
∴Tn=3+(n−1)•3n+1.

点评:
本题考点: 数列的求和;等差数列的性质.

考点点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了错位相减法求数列的和,是中档题.

1年前

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