在椭圆X平方/4+Y平方/3=1上求一点使它到直线X+2Y=0的距离最长

x + 2y = 0 ,y = -x/2 ,将该直线的平移至与椭圆相切,则切点就是符合题意的点 ,设此时直线为x + 2y + m = 0 ,联立椭圆方程可得：
3(2y + m)^2 + 4y^2 = 12 ,即16y^2 + 12my + (3m^2 - 12) = 0 ,∵仅有1交点 ,∴△ = 0
∴144m^2 = 64(3m^2 - 12) ,∴3m^2 = 4m^2 - 16 ,解得m = 4或-4
得到两条直线：x + 2y + 4 = 0 和 x + 2y - 4 = 0 ,根据椭圆的对称性,它们距离x + 2y = 0相等,
分别联立椭圆方程解得：x1 = 1 ,y1 = 3/2 ,x2 = -1 ,y2 = -3/2
∴所求的点为：(1 ,3/2)和(-1 ,-3/2)
参数方法：
设点Q(2cosα ,√3sinα) ,设Q到直线x + 2y = 0距离为d
则d = l2cosα + 2√3sinαl / √5
= (2/√5) lcosα + √3sinαl
= (4/√5) l(1/2)·cosα + (√3/2)·sinαl
= (4/√5) l sin(α + 30°) l
显然当sin(α + 30°) = 1时取到最大值 ,代回可得前述结果 ：(1 ,3/2)和(-1 ,-3/2)

先把椭圆的方程化成参数方程：x=2cosa,y=根号3sina,带入点到直线的距离公式里就最大值就可以了a=π3.所以点的坐标是（1,32）