设y=f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于函数y=f(x

设y=f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于函数y=f(x)的判断:
①y=f(x)是周期函数;
②y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
③y=f(x)在[0,1]上是增函数;
f(
1
2
)=0

其中正确判断的序号是______.(把你认为正确判断的序号都填上)
血公子 1年前 已收到1个回答 举报

wangxiangshi 幼苗

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解题思路:由题意y=f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+1)=-f(x),可以知道该函数的周期为2,在利用f(x)为偶函数且在[-1,0]上为增函数,可以由题意画出一个草图即可判断.

因为f(x+1)=-f(x) 所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),由函数的周期定义可知该函数的周期为2,由于f(x)为定义在R上的偶函数且在[-1,0]上为单调递增函数,所以由题意可以画出一下的函数草图为:

由图及题中条件可以得到:
①正确,周期T=2;
②由图可以知道该函数关于x=1对称,所以②正确;
③有已知条件 y=f(x)是定义在R上的偶函数且在[-1,0]上是增函数,所以y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,故③错;
④对于f(x+1)=-f(x),令x=-[1/2],得到:f([1/2])=-f(-[1/2])⇒f(
1
2)=−f(
1
2)(因为函数f(x)为偶函数)∴f(
1
2)=0故④正确.

点评:
本题考点: 函数的周期性;函数单调性的判断与证明;奇偶函数图象的对称性.

考点点评: 此题考查了函数的周期性,对称性及有抽象函数式子赋值的方法,还考查了学生对于抽象问题的具体化及数形结合的思想.

1年前

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