高一数学直线与圆的方程.40.设P(x,y)为圆x^2+(y-1)^2=1上任意一点,欲使不等式x+y+m≥0恒成立,则

先根据题目的意思知：
P(x,y)为圆x^2+(y-1)^2=1上任意一点,也就是说P(x,y)有一定的任意性.我们在不等式x+y+m≥0恒成立的条件下,求m的取值范围.也就是说,我们要找到m.使P(x,y)无论取什么值,不等式x+y+m≥0恒成立.
我们知道不等式x+y+m≥0恒成立的充要条件是点（x,y）在x+y+m=0的右侧.
（可证明,过程简单在这里不再证明）
P(x,y)使x+y+m=0的m有一个范围M.根据P(x,y)无论取什么值,不等式x+y+m≥0恒成立的要求,我们只能取m小于等于M,
根据
x^2+(y-1)^2=1
x+y+m=0
我们得出M的范围[-1-√2,-1+√2]
x+y+m=0要在x+y-1+√2=0的右侧,即m小于等于M.所以m的取值为：(-∞,-1+√2)

欲使不等式x+y+m≥0恒成立
就要圆x^2+(y-1)^2=1在直线x+y+m=0，即：y=-x-m上方
因此-m的最小值，即m的最大值是在x+y+m=0为圆下方切线的时候
这时，圆心(0,1)到直线距离为半径1
所以，|1+m|/√(1+1)=1
m=-1±√2
其中，切线在下方时，取m=-1+√2
所以，m的取值范围是：(-∞,-1+√...

欲使不等式x+y+m≥0恒成立
就要圆x^2+(y-1)^2=1在直线x+y+m=0，即：y=-x-m上方
因此-m的最小值，即m的最大值是在x+y+m=0为圆下方切线的时候
这时，圆心(0,1)到直线距离为半径1
所以，|1+m|/√(1+1)=1
m=-1±√2
其中，切线在下方时，取m=-1+√2
所以，m的取值范围是：(-∞,-1+√...

因点P在圆x^2+(y-1)^2=1上，故可设P(cost,1+sint),即x=cost,y=1+sint,====>x+y+m=1+m+sint+cost=1+m+(√2)sin[t+(π/4)]≥1+m-√2.即（x+y+m)min=1+m-√2.由题设，须有1+m-√2≥0.====>m≥-1+√2.=====>m的取值范围是，[-1+√2,+∞) .