已知如图在Rt三角形ABC中,角C=90度AC=6cmBC=8cmD,E分别是ACAB的中点,连接DE当t为

已知如图在Rt三角形ABC中,角C=90度AC=6cmBC=8cmD,E分别是ACAB的中点,连接DE当t为
(2012•青岛)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE,点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ⊥AB?
(2)当点Q在BE之间运动时,设五边形PQBCD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE:S五边形PQBCD=1:29?若存在,求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在,请说明理由.
考点:相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用;勾股定理;三角形中位线定理.
专题:代数几何综合题;压轴题;动点型.
分析:(1)如图①所示,当PQ⊥AB时,△PQE是直角三角形.解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示,这需要利用相似三角形(△PQE∽△ACB)比例线段关系(或三角函数);
(2)本问关键是利用等式“五边形PQBCD的面积=四边形DCBE的面积-△PQE的面积”,如图②所示.为求△PQE的面积,需要求出QE边上的高,因此过P点作QE边上的高,利用相似关系(△PME∽△ABC)求出高的表达式,
(3)本问要点是根据题意,列出一元二次方程并求解.假设存在时刻t,使S△PQE:S五边形PQBCD=1:29,则此时S△PQE=
1
30
S梯形DCBE,由此可列出一元二次方程,解方程即求得时刻t;点E到PQ的距离h利用△PQE的面积公式得到.
(1)如图①,在Rt△ABC中,
AC=6,BC=8
∴AB=
62+82
=10.
∵D、E分别是AC、AB的中点.
AD=DC=3,AE=EB=5,DE∥BC且
DE=
1
2
BC=4
∵PQ⊥AB,
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB
PE
AB

QE
BC
由题意得:PE=4-t,QE=2t-5,

4−t
10

2t−5
8
,
解得t=
41
14

(2)如图②,过点P作PM⊥AB于M,
由△PME∽△ACB,得
PM
AC

PE
AB
,

PM
6

4−t
10
,得PM=
3
5
(4-t).
S△PQE=
1
2
EQ•PM=
1
2
(5-2t)•
3
5
(4-t)=
3
5
t2-
39
10
t+6,
S梯形DCBE=
1
2
×(4+8)×3=18,
∴y=18-(
3
5
t2-
39
10
t+6)=−
3
5
t2+
39
10
t+12.
(3)假设存在时刻t,使S△PQE:S五边形PQBCD=1:29,
则此时S△PQE=
1
30
S梯形DCBE,

3
5
t2-
39
10
t+6=
1
30
×18,
即2t2-13t+18=0,
解得t1=2,t2=
9
2
(舍去).
当t=2时,
PM=
3
5
×(4-2)=
6
5
,ME=
4
5
×(4-2)=
8
5
,
EQ=5-2×2=1,MQ=ME+EQ=
8
5
+1=
13
5
,
∴PQ=
PM2+MQ2
=
(
6
5
)2+(
13
5
)2
=
205
5


1
2
PQ•h=
3
5
,
∴h=
6
5

5
205
=
6
205
205
(或
6
205
).
云客 1年前 已收到1个回答 举报

zwq_1983 幼苗

共回答了16个问题采纳率:93.8% 举报

图呢?而且问题也不全啊06

1年前

9
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