设a∈R，f（x）为奇函数，f(2x)＝a•4x+a−24x+1．

解题思路：（1）先用换元法由f（2x）求得f（x），再求f（x）的定义域．
（2）由f（x）为奇函数，得到f（-x）=-f（x）成立，用待定系数法求解．
（3）要求用定义证明，首先任意在定义域上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号，若自变量与函数值变化一致，则为增函数；若自变量与函数值变化相反，则为减函数．

（1）由题意f(2x)＝
a22x+a−2
22x+1∴f(x)＝
a2x+a−2
2x+1（2分）
故函数f（x）的定义域为R（4分）
（2）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）对任意的x∈R都成立∴f（0）=0（7分）
即a+a-2=0∴a=1（10分）
所以f(x)＝
2x−1
2x+1＝1−
2
2x+1（11分）
（3）对任意的x₁，x₂∈R且x₁＜x₂（14分）f(x1)−f(x2)＝1−
2
2x1+1−(1−
2
2x2+1)
=
2
2x2+1−
2
2x1+1
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)＜0（16分）
即f（x₁）＜f（x₂）
函数f（x）在R上单调递增（17分）

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查了换元法求函数解板式，求函数的定义域，奇偶性和单调性的应用，是函数性质考查中常见类型，要求熟练准确．