已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：

解题思路：（1）连结A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁连结AO₁，由已知得A₁ACC₁是平行四边形，AOC₁O₁是平行四边形，由此能证明C₁O∥面AB₁D₁．
（2）由已知得CC₁⊥B₁D₁，A₁C⊥B₁D₁，A₁C⊥AB₁，由此能证明A₁C⊥面AB₁D₁．
（3）由已知得AB₁∥DC₁，AD₁∥BC₁，由此能证明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

证明：（1）连结A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁
连结AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴A₁ACC₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四边形，
∴C₁O∥AO₁，AO₁⊂面AB₁D₁，C₁O⊄面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁．
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C即A₁C⊥B₁D₁，
同理可证A₁C⊥AB₁，
又D₁B₁∩AB₁=B₁，∴A₁C⊥面AB₁D₁．
（3）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴AB₁∥DC₁，AD₁∥BC₁，
又AB₁∩AD₁=A，AB₁∥DC₁，
AD₁⊂平面AB₁D₁，AB₁⊂平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

点评：
本题考点： 平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查直线直线垂直的证明，考查平面与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．