(2014·广州模拟)已知☉M:x 2 +(y-2) 2 =1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切☉M于A,B两点.

(2014·广州模拟)已知☉M:x 2 +(y-2) 2 =1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切☉M于A,B两点.
(1)如果|AB|= ,求直线MQ的方程.
(2)求证:直线AB恒过一个定点.
vision83 1年前 已收到1个回答 举报

wujinqi387 幼苗

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(1)2x+ y-2 =0或2x- y+2 =0
(2)见解析

(1)如图所示,连AM,BM,

设P是AB的中点,由|AB|= ,
可得|MP|
=
= = .
由射影定理,得|MB| 2 =|MP|·|MQ|,得|MQ|=3,
在Rt△MOQ中,|OQ|= = = ,
故Q点的坐标为( ,0)或(- ,0),所以直线MQ的方程是:
2x+ y-2 =0或2x- y+2 =0.
(2)设Q(a,0),由题意知M,A,Q,B四点共圆,直径为MQ.
设R(x,y)是该圆上任一点,由 · =0得x(x-a)+(y-2)y=0.
即x 2 +y 2 -ax-2y=0.①
①式与x 2 +(y-2) 2 =1联立,消去x 2 ,y 2 项得两圆公共弦AB所在的直线方程为-ax+2y=3.
所以无论a取何值,直线AB恒过点 ,故直线AB恒过一个定点.

1年前

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