∫L xy dx L为(x-a)^2+y^2 =a^2 和x轴所围成在第一象限的区域的整个边界!
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将L分为两部分一个是半圆,另一个是直线,直线即y=0,0
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赞 七7七7的七 幼苗
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有点问题,积分限不对,注意这个题你用的是参数方程,不是极坐标,你这个参数方程中的角度 t 是圆周上的点与圆心连线,该连线与x轴正向夹角,这个是 t ,与极坐标的θ不同
所以积分限应该是0--->π
∫L xy dx
=∫[0---->π] (acost+a)asint(-asint) dt
=-a³∫[0---->π] (cost+1)sin²t dt
=-a³∫[0---->π] costsin²t dt-a³∫[0---->π] sin²t dt
=-a³∫[0---->π] sin²t d(sint)-a³/2∫[0---->π] (1-cos2t) dt
=-(a³/3)sin³t-(a³/2)(t-(1/2)sin2t) |[0---->π]
=-a³π/2
所以积分限应该是0--->π
∫L xy dx
=∫[0---->π] (acost+a)asint(-asint) dt
=-a³∫[0---->π] (cost+1)sin²t dt
=-a³∫[0---->π] costsin²t dt-a³∫[0---->π] sin²t dt
=-a³∫[0---->π] sin²t d(sint)-a³/2∫[0---->π] (1-cos2t) dt
=-(a³/3)sin³t-(a³/2)(t-(1/2)sin2t) |[0---->π]
=-a³π/2
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