用Jensen不等式证明(abc)^a+b+c/3小于等于a^a*b^b*c^c（a,b,c大于零,）

构造函数f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,f''(x)=1/x>0
所以f(x)下凸,由下凸函数的性质(即Jensen不等式)得
f[(a+b+c)/3]≤[f(a)+f(b)+f(c)]/3
即 [(a+b+c)/3]•ln[(a+b+c)/3]≤(alna+blnb+clnc)/3
而 (abc)^(1/3)≤(a+b+c)/3,所以
[(a+b+c)/3]•ln[(abc)^(1/3)]≤(alna+blnb+clnc)/3
所以 ln{(abc)^[(a+b+c)/3)]}≤ln[(a^a)(b^b)(c^c)]
从而 (abc)^[(a+b+c)/3)]≤(a^a)(b^b)(c^c)