设n阶方阵A满足下面三个条件:A的转置等于A;A的2次方等于A;A的行列式不等于0.证明:A是正定矩阵.

乔箩 1年前 已收到2个回答 举报

xiaomi121 幼苗

共回答了19个问题采纳率:78.9% 举报

根据已知条件有:A^T = A (A^T表示A的转置),A^2 = A * A = A^T * A=A.对任意的向量X,有
X^T * A * X = X^T * A^2 * X = X^T * A * A * X = X^T * A^T * A * X = (AX)^T * (AX),令AX = Y = (y1,...,yn),
则:X^T * A * X = X^T * A^2 * X = Y^T * Y = y1^2 + .+ yn^2 >= 0.
且 A 的行列式不为 0,根据 AX = Y,所以 X ≠ 0 => Y ≠ 0.
由 X 的任意性知道,A 为正定矩阵.

1年前

1

ddd555kkk 幼苗

共回答了97个问题 举报

因为A^T=A所以A是对称矩阵。
又因为A^2=A,所以A^2-A=〇。
用m_A (x) 表示A的最小多项式,则m_A (x)| (x^2 -x)
这说明A的特征值只可能是0或者1,又因为|A|≠0
所以A的特征值全为1,即特征值全为正数,所以A是正定矩阵。

1年前

0
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.025 s. - webmaster@yulucn.com