(2004•南平)如图1,正方形ABCD的边长为2厘米,点E从点A开始沿AB边移动到点B,点F从点B开始沿BC边移动到点

(2004•南平)如图1,正方形ABCD的边长为2厘米,点E从点A开始沿AB边移动到点B,点F从点B开始沿BC边移动到点C,点G从点C开始沿CD边移动到点D,点H从点D开始沿DA边移动到点A、它们同时开始移动,且速度均为0.5厘米/秒.设运动的时间为t(秒)
(1)求证:△HAE≌△EBF;
(2)设四边形EFGH的面积为S(平方厘米),求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在图2中用描点法画出(2)中函数的图象,并观察图象,答出t为何值时,四边形EFGH的面积最小?最小值是多少?
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s
waltjj 1年前 悬赏30滴雨露 已收到1个回答 我来回答 举报

zhengnan01 幼苗

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解题思路:(1)由于H、E的运动速度和时间都相等,因此DH=AE.四边形ABCD是正方形,可得到∠A=∠B=90°,且AD=AB,由此可证得AH=BE.根据SAS即可判定所求的两个三角形全等;
(2)按照(1)的思路,易求得Rt△HAE、Rt△EBF、Rt△FCG、Rt△GDH都全等,因此它们的面积也相等,因此四边形EFGH的面积即为正方形ABCD与4个全等三角形的面积差,由此可得到关于S、t的函数关系式;
(3)根据(2)得到的函数关系式,找出几组抛物线图象上的点,然后描点、连线即可作出抛物线的图象.进而可根据图象判断出在自变量的取值范围内S的最小值.

(1)t秒时,AE=0.5t,BF=0.5t,DH=0.5t
∴AE=BF=DH(1分)
∵四边形ABCD为正方形
∴∠A=∠B=90°,AD=AB
∴AH=BE=2-0.5t(3分)
∴△HAE≌△EBF(4分)

(2)由(1)同理可得Rt△HAE≌Rt△EBF≌Rt△FCG≌Rt△GDH(5分)
s=4−
1
2×0.5t×(2−0.5t)×4(7分)
=
1
2t2−2t+4(8分)
自变量t的取值范围是O≤t≤4(9分)
(3)s=
1
2(t−2)2+2
∴图象的开口向上,对称轴为t=2,顶点坐标为(2,2)

t 0 1 2 3 4
s 4 2.5 2 2.5 4 说明:正确描点画图,图象如右图所示得(3分)(不能按自变量取值范围作图扣1分)
答:由图象可知t=2(秒)时,S最小值=2(平方厘米).(14分)

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用以及二次函数图象的画法等知识的综合应用.

1年前

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