求二阶线性非齐次微分方程的通解：Y''+36Y=1/cos(6x)

先求解对应的齐次方程：y''＋36y＝0
为二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为：r²＋36＝0
有一对共轭复根：r＝±6i
∴齐次方程的通解为：y＝C1cos6x＋C2sin6x
根据常数变易法,设非齐次方程的一个特解为：y*＝u1(x)cos6x＋u2(x)sin6x
有y*'＝－6u1sin6x＋6u2cos6x＋u1'cos6x＋u2'sin6x
根据定理,y＝C1cos6x＋C2sin6x＋y*即为非齐次方程的通解
下面,只要解出u1(x)和u2(x),
y*作为非齐次方程的一个特解,须满足该方程,此方程为关于u1和u2的一个方程
而u1和u2是两个未知函数,则可令其满足另一方程,此方程能使问题简化
可以看出,y*'中含有u1'和u2',则y*''中必含有u1''和u2'',则原二阶方程又转化成新的二阶方程,为避免此情况,须使得y*'中不含u1'和u2',即
令u1'cos6x＋u2'sin6x＝0
则y*''＝－36u1cos6x－36u2sin6x－6u1'sin6x＋6u2'cos6x
将y*与y*''代入原方程：y''＋36y＝1/cos6x,有
－36u1cos6x－36u2sin6x－6u1'sin6x＋6u2'cos6x＋36u1cos6x＋36u2sin6x＝1/cos6x
u1'sin6x－u2'cos6x＝－1/(6cos6x)
与u1'cos6x＋u2'sin6x＝0联立,解得：
u1'(x)＝－1/6·tan6x,u2'(x)＝1/6
u1(x)＝∫(－1/6·tan6x)dx＋C1＝1/36·lncos6x＋C1
u2(x)＝∫1/6dx＋C2＝x/6＋C2
由于只需求一特解,积分常数可舍去,即
u1(x)＝1/36·lncos6x,u2(x)＝x/6
∴y＝C1cos6x＋C2sin6x＋y*＝C1cos6x＋C2sin6x＋1/36·lncos6x·cos6x＋x/6·sin6x
答：原方程的通解为y＝C1cos6x＋C2sin6x＋1/36·lncos6x·cos6x＋x/6·sin6x.