完成下列证明:当p1•p2=2(q1+q2)时,求证:方程x2+p1x+q1=0和方程x2+p2x+q2=0中,至少有一

完成下列证明:
当p1•p2=2(q1+q2)时,求证:方程x2+p1x+q1=0和方程x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实数根.
证明:假设______,那么△1=p12-4q1______0,2
p
2
2
−4q2
______0.
p12______4q1
p
2
2
______4q2
p12+
p
2
2
______4(q1+q2)______2p1p2
(p1p2)2______0,这与(p1p2)2______0相矛盾.
∴假设______不成立,故所求证的结论正确.
眼罩经销 1年前 已收到1个回答 举报

whiteraul 幼苗

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解题思路:至少有一个方程有实根的对立面是两个方程都没有根,由于正面解决此问题分类较多,而其对立面情况单一,故求解此类问题一般先假设所有方程都有实数根,然后由根的判别式解得方程都没有实数根得(p1p2)2 的取值范围,进而得出矛盾,原命题正确.

证明:假设方程x2+p1x+q1=0和方程x2+p2x+q2=0中都没有实数根,
那么△1=p12-4q1<0,△2=
p22−4q2<0.
∴p12<4q1
p22<4q2
∴p12+
p22<4(q1+q2)<2p1p2
∴(p1−p2)2<0,这与(p1−p2)2<0相矛盾.
∴假设方程x2+p1x+q1=0和方程x2+p2x+q2=0中都没有实数根不成立,故所求证的结论正确.

点评:
本题考点: 反证法.

考点点评: 本题考查了反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.

1年前

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