求积分:∫√(1+4x^2)dx 如果已知 f(x)=1/2 ln[2x+√(1+4x^2)] 这个函数了

梦思863 1年前 已收到1个回答 举报

落莫书生 幼苗

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不好意思,前半部分套用刚才给你解题的那位,后半部分他做得太麻烦.
令x=(1/2)tanu,则:
cosu=√{(cosu)^2/[(cosu)^2+(sinu)^2]}=√{1/[1+(tanu)^2]}
=1/√(1+4x^2),
√(1+4x^2)=√[1+(tanu)^2]=1/cosu,dx=(1/2)[1/(cosu)^2]du.
∴原式=(1/2)∫(1/cosu)[1/(cosu)^2]du
   =(1/2)∫[1/(cosu)^3]du
   =(1/2)∫ (secu)^3 du
下面分部积分:
(1/2)∫ (secu)^3 du=(1/2)∫ secu d (tanu)=1/2*secu*tanu-1/2*∫ (tanu)^2*secu du
= 1/2*secu*tanu-1/2*∫ ((secu)^2-1)*secu du
= 1/2*secu*tanu-1/2*∫ (secu)^3du+1/2*∫ secu du
= 1/2*secu*tanu-1/2*∫ (secu)^3du+1/2*ln|secu+tanu|
将-1/2*∫ (secu)^3du移到左边与左边合并后,并除以2得
1/2*∫ (secu)^3 du=1/4*secu*tanu+1/4*ln|secu+tanu|+C
代回原变量,tanu=2x,secu=√(1+4x^2)
原式=1/4*√(1+4x^2)*2x+1/4*ln|√(1+4x^2)+2x|+C
=1/2*x√(1+4x^2)+1/4*ln(√(1+4x^2)+2x)+C

1年前

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