已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在

（1）如图：

（2）解法一：
AF
AN 与
AP
AD 不相等．
假设
AF
AN =
AP
AD ，
则由相似三角形的性质，得MN ∥ DC，
∵∠D=90°
∴DC⊥AD
∴MN⊥AD
∵据题意得，A与P关于MN对称，
∴MN⊥AP
∵据题意，P与D不重合，
∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾，
∴假设不成立，
∴
AF
AN =
AP
AD 不成立；

解法二：
AF
AN 与
AP
AD 不相等．
理由如下：
∵P，A关于MN对称，
∴MN垂直平分AP
∴cos∠FAN=
AF
AN
∵∠D=90°
∴cos∠PAD=
AD
AP
∵∠FAN=∠PAD
∴
AF
AN =
AD
AP
∵P不与D重合，P在边DC上
∴AD≠AP
∴
AD
AP ≠
AP
AD
从而
AF
AN ≠
AP
AD ；


（3）∵AM是⊙O的切线，
∴∠AMP=90°
∴∠CMP+∠AMB=90°
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CMP=∠BAM
∵MN垂直平分AP，
∴MA=MP
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM≌△MCP
∴MC=AB=4
设PD=x，则CP=4-x
∴BM=PC=4-x
连接HO并延长交BC于J，
∵AD是⊙O的切线
∴∠JHD=90°
∴HDCJ为矩形
∴OJ ∥ CP
∴△MOJ ∽ △MPC
∴OJ：CP=MO：MP=1：2
∴OJ=
1
2 （4-x）
OH=
1
2 MP=4-OJ=
1
2 （4+x）
∵MC ² =MP ² -CP ²
∴（4+x） ² -（4-x） ² =16
解得：x=1，即PD=1，PC=3
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．

1年前