(2011•安徽模拟)已知数列{an}中a1=12,前n项和2Sn=Sn−1−(12)n−1+2(n≥2,n∈N).

(2011•安徽模拟)已知数列{an}中a1
1
2
,前n项和2SnSn−1−(
1
2
)n−1+2(n≥2,n∈N)

(Ⅰ)令bn=2nan,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令cn
n+1
n
an
,求数列{cn}的前n项和Tn
zmx305872045 1年前 已收到1个回答 举报

zrhd244 幼苗

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解题思路:(Ⅰ)将已知关系式变形得出Sn+an=−(
1
2
)n−1+2
(n≥2)由此当n≥3.时Sn−1+an−1=−(
1
2
)
n−2
+2
,两式相减并构造得出2nan=2n-1an-1+1,再利用等差数列定义进行判断证明即可.(Ⅱ) 由(Ⅰ)得出an
n
2n],从而cn
n+1
n
an=(n+1)(
1
2
)n
,利用错位相消法求和即可.

(Ⅰ)∵2Sn=Sn−1−(
1
2)n−2+2.
即Sn+an=−(
1
2)n−1+2,n≥2,Sn−1+an−1=−(
1
2)n−2+2,n≥3.
两式相减得2an=an−1+(
1
2)n−1,即2nan=2n-1an-1+1…(3分)
∵bn=2nan,∴bn=bn-1+1(n≥3),即当n≥3时,bn-bn-1=1,
又b1=2a1=1,2(a1+a2)=a1-[1/2]+2,得a2=[1/2],∴b2=4a2=2,∴b2-b1=1,
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列…(5分)
于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan,∴an=
n
2n…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得cn=
n+1
nan=(n+1)(
1
2)n,所以
所以cn=bn•(
1
2)n=(n+1)(
1
2)n…(5分)
Tn=2×
1
2+3×(
1
2)2+4×(
1
2)3+…+(n+1)(
1
2)n①
[1/2Tn=2×(
1
2)2+3×(
1
2)3+4×(
1
2)4+…+(n+1)(
1
2)n+1②…(8分)
由①-②得
1
2Tn=1+(

点评:
本题考点: 数列递推式;等差关系的确定;数列的求和.

考点点评: 本题考查等差数列的判定,通项公式求解,错位相消法求和,数列中Sn与an关系的应用.需具有转化、变形构造、论证、计算等能力.

1年前

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