过点p(4,0)作动直线l交抛物线y^2=4x于A,B两点,O为原点.
过点p(4,0)作动直线l交抛物线y^2=4x于A,B两点,O为原点.
判断OA*OB(向量)是否为定值?求AB中点M的轨迹方程.
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赞 范太 春芽
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设直线方程为y=k(x-4),点A（x1,y1）,点B（x2,y2),
y1^2=4x1,y2^2=4x2,故x1*x2=y1^2*y2^2/16
OA*OB(向量)=x1*x2+y1*y2
又y1^2-y2^2=4(x1-x2),既(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),且y1=k(x-4),y2=k(x-4),
故y1+y2=k(x1+x2)-8k,y1-y2=k(x1-x2),将y1-y2=k(x1-x2)带入上式,有y1+y2=4/k,从而x1+x2=4/k^2+8,
对y1+y2两边平方,得y1^2+y2^2+2y1y2=16/k^2,故y1y2=8/k^2-2x1-2x2=-16,
x1*x2=y1^2*y2^2/16=16,故OA*OB=0,既OA垂直OB
设M点为（X,Y),X=(x1+x2)/2=2/k^2+4,Y=(y1+y2)/2=2/k,故Y^2=2X-8
y1^2=4x1,y2^2=4x2,故x1*x2=y1^2*y2^2/16
OA*OB(向量)=x1*x2+y1*y2
又y1^2-y2^2=4(x1-x2),既(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),且y1=k(x-4),y2=k(x-4),
故y1+y2=k(x1+x2)-8k,y1-y2=k(x1-x2),将y1-y2=k(x1-x2)带入上式,有y1+y2=4/k,从而x1+x2=4/k^2+8,
对y1+y2两边平方,得y1^2+y2^2+2y1y2=16/k^2,故y1y2=8/k^2-2x1-2x2=-16,
x1*x2=y1^2*y2^2/16=16,故OA*OB=0,既OA垂直OB
设M点为（X,Y),X=(x1+x2)/2=2/k^2+4,Y=(y1+y2)/2=2/k,故Y^2=2X-8
1年前
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