（2014•成都三模）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM

解题思路：（1）设A，B，M的坐标，根据|AM|=2|MB|，确定坐标之间的关系，利用长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，求出轨迹方程，即可求出曲线C的方程；
（2）分类讨论，直线的斜率存在时，设l：y=kx+1代入椭圆方程，利用弦长公式，求出|EF|，再求出l，l′的距离，表示出△NEF面积，利用导数法，即可得到△NEF面积的最大值．

（1）设A（x₀，0），B（0，y₀），M（x，y）
∵|AM|=2|MB|，
∴

x−x0＝−2x
y＝2y0−2y，
∴x₀=3x，y₀=[3/2]y，
∵长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，
∴x₀²+y₀²=9
∴x2+
y2
4=1，
∴曲线C的方程是x2+
y2
4=1…..（4分）
（2）当直线的斜率不存在时，即l：x=0，此时（S_△NEF）_max=2…..（5分）
当直线的斜率存在时，设l：y=kx+1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
y=kx+1代入椭圆方程，可得（4+k²）+2kx-3=0，
有x₁+x₂=-
2k
4+k2，x₁x₂=-
3
4+k2，
∴|EF|=
(1+k2)[
4k2
(4+k2)2+
12
4+k2]…..（7分）
由题知过N的直线l′∥l，且l′与椭圆切于N点时，S_△NEF最大，
故设l′：y=kx+b（b≤-2）
联立l′与椭圆方程得（4+k²）+2kbx+b²-3=0，此时△=0，可得k²=b²-4
l，l′的距离d=
|b−1|

1+k2，
∴S

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度大．