一道高三三角函数题在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b(c-3b)cosA=向量BCx向量C

答：
1)
三角形ABC中,acosC+√3csinA-b-c=0
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则有：sinAcosC+√3sinCsinA-sinB-sinC=0
因为：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
所以：sinAcosC-sinB=sinC-√3sinAsinC=-cosAsinC
因为：sinC>0
所以：1-√3sinA=-cosA
所以：√3sinA-cosA=1
所以：sin(A-π/6)=1/2
解得：A-π/6=π/6
所以：A=π/3
2）
a=√3,S=(bc/2)sinA=√3bc/4
所以：2R=a/sinA=√3/sin(π/3)=2
所以：b=2RsinB=2sinB,c=2sinC
√3S/3+√3cosBcosC
=bc/4+√3cosBcosC
=sinBsinC+√3cosBcosC
=cos(B+C)+[(1+√3)/2]*[cos(B+C)+cos(B-C)]
=-1/2+[(1+√3)/2]*[-1/2+cos(B-C)]
当cos(B-C)取得最大值1时,√3S/3+√3cosBcosC取得最大值
此时：B=C=π/3
所以：S=√3sinBsinC=3√3/4