（2011•河南模拟）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=ex-1．

解题思路：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．

（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+[a/2]x²，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）=[2/x+1]-（a+1）+ax=
a(x−
1−a
a)(x−1)
x+1
当0＜a＜[1/2]时，F（x）在（-1，1）和（[1/a]-1，+∞）上单调递增，在（1，[1/a− 1）上单调递减
当a=
1
2]时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a＞
1
2时，F（x）在（-1，[1/a−1）和（1，+∞）上单增，在（
1
a−1，1）上单减，
当a=
1
2]时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x₂＞x₁≥0，由题意得f（x₂）-f（x₁）≤ax₂-ax₁，
f（x₂）-ax₂≤f（x₁）-ax₁
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x₂＞x₁≥0，总有t（x₂）≤t（x₁）
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴t′(x)＝
1
x+1−a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a≥
1
x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x₂）-f（x₁）≤x₂-x₁，
设h（x）=g（x）-x=e^x-x-1（x＞0）
h^′（x）=e^x-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x₂-x₁＞0，
∴g（x₂-x₁）＞x₂-x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）≤x₂-x₁＜g（x₂-x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂-x₁）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题是一个大型的函数综合题目，题目包含的知识点比较多，适合作为高考题中的一道压轴题目，注意题目中两次使用构造函数的思想，这是本题的闪光点．