（2011•怀柔区一模）已知函数f（x）=x2-2alnx-1（a≠0）．

解题思路：（I）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，再求出极值即可．

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-4lnx-1，
∴f（1）=0
又f′(x)＝2x−
4
x＝
2(x2−2)
x，
∴f′（1）=-2
所以y-0=-2（x-1）
即f（x）在x=1处的切线方程为2x+y-2=0-------------（5分）
（II）因为f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）
所以f′(x)＝2x−
2a
x＝
2(x2−a)
x（x＞0）--------------（6分）
（1）当a＜0时，
因为x＞0，且x²-a＞0，
所以f'（x）＞0对x＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值---------------------（8分）
（2）当a＞0时，
令f'（x）=0，解得x₁=
a，x₂=-
a（舍）------------------------（10分）
所以，当x＞0时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，
a）
a （
a，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗------------------------------------------------（12分）
所以，当x=
a时，f（x）取得极小值，且f（x）_极小值=a-alna-1．
综上，当a＜0时，方程f'（x）=0无解，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力及分类讨论思想．属于基础题．