在直角三角形,ABC中,∠BAC等于90,AB等于,AC,D为BC的中点,E为AC上的一点.点G在BE上,连接BG并延长
在直角三角形,ABC中,∠BAC等于90,AB等于,AC,D为BC的中点,E为AC上的一点.点G在BE上,连接BG并延长交AE于F.∠FGE为45①求证AG垂直BE,②若E为AC中点,求EF.FD的比值.
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（1）∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴ BD/BE=BG/BC
即BD•BC=BG•BE；
∴BG= BD•BC/BE= 12BC•BC/BE= 1/2(√2AB)²/BE= AB²/BE,
∴ AB/BG= BE/AB,∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；
（2）∵EF：AF=EG：AG=AE²：（EB•AG）= 1/2,
EF= 1/3AE,DE= 1/2AB,DF= 10/3AE
∴EF：FD=1：√10．
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴ BD/BE=BG/BC
即BD•BC=BG•BE；
∴BG= BD•BC/BE= 12BC•BC/BE= 1/2(√2AB)²/BE= AB²/BE,
∴ AB/BG= BE/AB,∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；
（2）∵EF：AF=EG：AG=AE²：（EB•AG）= 1/2,
EF= 1/3AE,DE= 1/2AB,DF= 10/3AE
∴EF：FD=1：√10．
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