已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x+ a 2 x ，（其中a＞0）．

（Ⅰ）f（1）=1-ln1=1，f′（x）=1-
1
x ，则f′（1）=0，即切线斜率为0，
故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=0•（x-1），即y=1；
（Ⅱ）h（x）=f（x）+g（x）=x-lnx+x+
a 2
x =2x+
a 2
x -lnx，定义域为（0，+∞），
∴ h ′ (x)=2-
a 2
x 2 -
1
x =
2 x 2 -x- a 2
x 2 ，
令h′（1）=0，解得a ² =1，
又a＞0，∴a=1，
经验证a=1符合条件．
（Ⅲ）对任意的x ₁ ，x ₂ ∈[1，e]都有f（x ₁ ）≤g（x ₂ ）成立，等价于对任意的x∈[1，e]都有f _max （x）≤g _min （x）成立，
当x∈[1，e]时， f ′ (x)=1-
1
x =
x-1
x ≥0 ，∴f（x）在[1，e]上单调递增，f _max （x）=f（e）=e-1．
∵ g ′ (x)=1-
a 2
x 2 =
(x-a)(x+a)
x 2 ，x∈[1，e]，a＞0，
∴（1）若0＜a≤1，g′（x）≥0， g(x)=x+
a 2
x 在[1，e]上单调递增，
∴ g min (x)=g(1)=1+ a 2 ，
∴1+a ² ≥e-1，解得
e-2 ≤a≤1 ．
（2）若1＜a＜e，
当1≤x＜a时，则 g ′ (x)=
(x-a)(x+a)
x 2 ＜0 ，当a≤x≤e时，则 g ′ (x)=
(x-a)(x+a)
x 2 ≥0 ，
∴g（x）在[1，a）上递减，在[a，e]上递增，g _min （x）=g（a）=2a≥f _max （x）=e-1，解得 a≥
e-1
2 ，
又1＜a＜e，∴a∈（1，e）
（3）当a≥e时， g ′ (x)=
(x-a)(x+a)
x 2 ≤0 ，∴g（x）在[1，e]上递减，
g min (x)=g(e)=e+
a 2
e ≥ f max (x)=e-1 ，∴a ² ≥-e恒成立．
综上所述 a∈[
e-2 ，+∞) ．